【常用等价无穷小替换公式】在高等数学中，特别是在求极限的过程中，等价无穷小替换是一个非常重要的工具。它能够简化复杂的表达式，使计算更加高效和直观。掌握常用的等价无穷小替换公式，有助于快速解决各类极限问题。
以下是一些常见的等价无穷小替换公式，适用于当 $ x \to 0 $ 时的情况：
常用等价无穷小替换公式总结
| 当 $ x \to 0 $ 时的函数 | 等价无穷小形式 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ (1 + x)^k - 1 $ | $ kx $（$ k \in \mathbb{R} $） |
| $ \log_a(1 + x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
使用说明
1. 适用条件：这些等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立。若 $ x \to a $（$ a \neq 0 $），需先进行变量替换，转化为 $ x \to 0 $ 的形式。
2. 替换原则：在极限运算中，若某部分是无穷小量，可以将其替换为对应的等价无穷小，从而简化计算。
3. 注意事项：
- 若原式中含有多个无穷小项，不可随意替换，应确保替换后的表达式与原式同阶或高阶。
- 在乘除运算中，替换更为安全；而在加减运算中，需特别注意是否为同阶无穷小。
示例应用
例1：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
解：由于 $ \sin x \sim x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
例2：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
解：由于 $ e^x - 1 \sim x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
总结
掌握常用等价无穷小替换公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对极限本质的理解。建议在学习过程中多做练习，熟悉不同情况下的替换方法，并注意公式的适用范围和使用技巧。
